A004782(n) = A014847(n) + 1

1 INTRODUCCIÓN

Relacionar dos secuencias distintas de números enteros en la On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS) abre conexiones entre dentro de la información matemática disponible¹. La secuencia de números enteros, A004782 [2], está compuesta por los números $n$ que cumplen:

$$n \in \{A004782\} \Leftrightarrow \frac{2 (2n-3)!}{n! (n-1)!} \in \mathbb{N} \tag{1}$$

Y está estrechamente relacionada con la secuencia A014847 [3], formada por los números $n$ dónde el enésimo número de Catalan $C_{n}$ es divisible por $n$

$$n \in \{A014847\} \Leftrightarrow n \vert C_{n} \tag{2}$$

Los números de Catalan [4] aparecen con mucha frecuencia en combinatoria y otras áreas de las matemáticas y están definidos por la expresión: $$C_{n} = \frac{1}{(n+1)}\binom{2n}{n} \tag{3}$$

están relacionados con los coeficientes binomiales centrales [5] y los primeros términos de la secuencia de los números de Catalan son:

$$1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, \dots$$

2 ENUNCIADO

$$A004782(n) = A014847(n) + 1 \tag{4}$$

3 DEMOSTRACIÓN

Partiendo de las funciones $f(n)$ y $g(n)$:

$$f(n) = \frac{2 (2n-3)!}{n! (n-1)!} \tag{5}$$

$$g(n) = \frac{C_{n}}{n} = \binom{2n}{n} \frac{1}{(n+1) n} \tag{6}$$

Se puede comprobar como $f(n+1)$ es igual a $g(n)$ por cálculo directo:

$$f(n+1)=\frac{2 (2n-1)!}{(n+1) {(n!)}^2} = \frac{2n (2n-1)!}{n(n+1) {(n!)}^2} = \frac{(2n)!}{n (n+1) {(n!)}^2}= \\ \binom{2n}{n} \frac{1}{(n+1) n} = g(n) \tag{7}$$

Por lo tanto:

$$f(n+1) \in \mathbb{N} \Longleftrightarrow g(n) \in \mathbb{N} \Longleftrightarrow n+1 \{A004782\} \Longleftrightarrow n \in \{A014847\} \tag{8}$$

4 REFERENCIAS

1.

Psychedelic Geometry Blog (2013) A004782(n)=A014847(n)+1.

2.

Guy RK A004782: $2(2n-3)!/(n!(n-1)!)$ is an integer. Disponible en: https://oeis.org/A004782.

3.

Sloane NJA A014847: Numbers n such that the n-th Catalan number is divisible by n. Disponible en: https://oeis.org/A014847.

4.

N. J. A. Sloane and The OEIS Foundation Inc. A000108: Catalan numbers: $C(n) = \binom{2n}{n}/(n+1) = \frac{(2n)!}{n!(n+1)!}$. Disponible en: https://oeis.org/A000108.

5.

Sloane NJA A000984: Central binomial coefficients. Disponible en: https://oeis.org/A000984.

Notas

1. Este artículo es una traducción y actualización del post original titulado A004782(n)=A014847(n)+1 publicado el viernes 29 de noviembre de 2013 en el blog Psychedelic Geometry [1].