Euclinacci

1 INTRODUCCIÓN

Una igualdad aparentemente trivial como $1+1=2$ encierra consecuencias tan profundas que han ocupado bibliotecas enteras¹:

Entre ellas destaca la famosa sucesión de Fibonacci [2]:

$$\{0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, \ldots\} \tag{1}$$

La sucesión de Fibonacci se define de forma recursiva mediante la siguiente expresión:

$$F_n = \begin{cases} F_0 = 0 \\ F_1 = 1 \\ F_n = F_{n-1} + F_{n-2}, & \text{para } n \ge 2 \end{cases} \tag{2}$$

2 PROPIEDADES FUNDAMENTALES

El análisis de la razón entre términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci tiene dos propiedades importantes:

1. La sucesión de razones $\frac{F_{n+1}}{F_n}$ converge a un límite finito cuando $n$ tiende a infinito.

2. Dos números de Fibonacci consecutivos son coprimos: $\gcd(F_{n}, F_{n+1}) = 1$.

3 TABLA DE RAZONES

$n$	$F_n$	$\frac{F_{n+1}}{F_n}$	Error absoluto $\left| \frac{F_{n+1}}{F_n} - \phi \right|$
5	5	1.6666667	0.0486327
10	55	1.6176471	0.0003869
15	610	1.6180339	≈ 2.7 × 10⁻⁷
20	6765	1.6180339887	≈ 1.3 × 10⁻¹⁰

Tabla 1: Convergencia de la razón $\frac{F_{n+1}}{F_n}$ hacia el número áureo $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.6180339887\ldots$

4 LA RAZÓN AUREA

Sea $I$ el límite de la relación entre dos números de Fibonacci consecutivos:

$$I = \lim_{n \to \infty} \frac{F_n}{F_{n-1}} \tag{3}$$

Como:

$$\frac{F_{n}}{F_{n-1}} = \frac{F_{n-1}+F_{n-2}}{F_{n-1}} = 1 + \frac{F_{n-2}}{F_{n-1}} (n \geq 2) \tag{4}$$

Tomando límites se obtiene:

$$I = 1 + \frac{1}{I} \Rightarrow I^2 = I + 1 \Rightarrow I = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \phi \tag{5}$$

El número $\phi$ es conocido como la proporción áurea.

library(ggplot2)

fibonacci <- function(n) {
  F <- numeric(n)
  F[1] <- 1
  F[2] <- 1
  for (i in 3:n) {
    F[i] <- F[i - 1] + F[i - 2]
  }
  return(F)
}

n <- 20
F <- fibonacci(n)
ratio <- F[-1] / F[-length(F)]
data <- data.frame(n = 2:n, ratio = ratio)
phi <- (1 + sqrt(5)) / 2

ggplot(data, aes(x = n, y = ratio)) +
  geom_point(color = "steelblue", size = 2) +
  geom_line(color = "steelblue") +
  geom_hline(yintercept = phi,
             linetype = "dashed",
             color = "red") +
  labs(title = "Razón entre números consecutivos de Fibonacci",
       x = "n",
       y = expression(F[n] / F[n - 1])) +
  theme_minimal()

5 EL ALGORITMO DE EUCLIDES

La segunda propiedad se puede demostrar empleando el Algoritmo de Euclides, que es técnica milenaria para encontrar el máximo común divisor (MCD) entre dos números enteros.

Dados $a$ y $b$, el algoritmo genera la secuencia:

$$(a, b) = (r_0, r_1) = (r_1, r_2) = \cdots = (r_{n-1}, r_n) \tag{6}$$

Con la siguiente relación de recurrencia:

$$\begin{cases} r_0 = a \\ r_1 = b \\ r_{i+1} = r_{i-1} - r_i \cdot \left\lfloor \dfrac{r_{i-1}}{r_i} \right\rfloor \end{cases} \tag{7}$$

Cuando $r_{i+1} = 0$, entonces $\gcd(a, b) = r_i$ y el algoritmo se detiene.

La notación $\lfloor x \rfloor$ corresponde a la denominada función suelo [3] que devuelve el mayor entero menor o igual que $x$

6 APLICACIÓN A LOS NÚMEROS DE FIBONACCI

Sea:

$$(F_n, F_{n-1}) = (r_0, r_1) \tag{8}$$

Entonces:

$$\begin{aligned} r_2 &= F_n - F_{n-1} \cdot \left\lfloor \dfrac{F_n}{F_{n-1}} \right\rfloor \\ &= F_n - F_{n-1} \cdot \left\lfloor 1 + \dfrac{F_{n-2}}{F_{n-1}} \right\rfloor \\ &= F_n - F_{n-1} \cdot (1 + 0) = F_{n-2} \end{aligned} \tag{9}$$

Repitiendo el proceso, se obtiene:

$$(F_n, F_{n-1}) = (F_{n-1}, F_{n-2}) = \cdots = (2, 1) = 1 \tag{10}$$

Por lo tanto, dos números de Fibonacci consecutivos son siempre coprimos.

7 CONCLUSIÓN

El algoritmo de Euclides proporciona una demostración elegante y alternativa de la coprimalidad de dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci.

8 REFERENCIAS

1.

Psychedelic Geometry Blog (2009) EUCLINACCI - [1].

2.

OEIS Foundation Inc. (s.f.) A000045: Fibonacci numbers: $F(n)=F(n-1)+F(n-2)$, with $F(0)=0$, $F(1)=1$, s.f. Disponible en: https://oeis.org/A000045.

3.

Weisstein EW (s.f.) Floor Function, s.f. Disponible en: https://mathworld.wolfram.com/FloorFunction.html.

4.

LeVeque WJ (1996) Fundamentals of Number Theory, Mineola, New York, Courier Dover Publications.

5.

Math Forum @ Drexel (s.f.) Consecutive Fibonacci Numbers Relatively Prime, s.f. Disponible en: https://mathforum.org/library/drmath/view/55843.html.

6.

Koshy T (2001) Fibonacci and Lucas Numbers with Applications, New York, Wiley-Interscience.

7.

Dunlap RA (1997) The Golden Ratio and Fibonacci Numbers, Singapore, World Scientific Publishing.

8.

Niven I, Zuckerman HS, Montgomery HL (1991) An Introduction to the Theory of Numbers, New York, Wiley.

9.

Rosen KH (2011) Elementary Number Theory and Its Applications, Boston, MA, Pearson.

Notas

1. Este artículo es una traducción y actualización del post original titulado EUCLINACCI publicado el domingo 1 de febrero de 2009 en el blog Psychedelic Geometry [1].