Suma de los recíprocos de los números tetraédricos

1 INTRODUCCIÓN

Esta entrada en el blog continúa con ejercicios sobre series relacionadas con los recíprocos de números especiales, siguiendo trabajos previos¹ sobre los números piramidales cuadrados y los números poligonales. En esta ocasión consideramos un ejemplo sencillo: la suma de los recíprocos de los números tetraédricos.

Aunque el resultado no es particularmente profundo, sirve como una buena ilustración del uso de fracciones parciales y series telescópicas.

2 NÚMEROS TETRAÉDRICOS

Los números tetraédricos representan el número de esferas que pueden apilarse formando un tetraedro regular [2] [3] y están definidos por la fórmula

$T_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{6} = \binom{n+2}{3} \tag{1}$

3 LA SERIE DE LOS RECÍPROCOS DE NÚMEROS TETRAÉDRICOS

Nos interesa estudiar la suma parcial

$S(n) = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{T_k} = \sum_{k=1}^{n} {\binom{k+2}{3}}^{-1} \tag{2}$

Sustituyendo la expresión explícita de $T_k$ , obtenemos

$S(n) = \sum_{k=1}^{n} \frac{6}{k(k+1)(k+2)} \tag{3}$

4 DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALES

La fracción racional (3) puede descomponerse en una suma de otras como:

$\frac{6}{k(k+1)(k+2)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+1} + \frac{C}{k+2} \tag{4}$

Resolviendo el sistema lineal correspondiente se obtienen los valores de los denominadores de la descomposición en fracciones parciales:

$A = \frac{1}{2}, \qquad B = -1, \qquad C = \frac{1}{2} \tag{5}$

Por lo tanto,

$\frac{6}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{2k} - \frac{1}{k+1} + \frac{1}{2(k+2)} \tag{6}$

5 NÚMEROS ARMÓNICOS

Estas tres series se pueden sumar facilmente teniendo en cuenta las siguientes identidades para los números armónicos $H_n$ [4]:

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = H_n \tag{7}$

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k+1} = H_n - 1 + \frac{1}{n+1} \tag{8}$

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k+2} = H_n - \frac{3}{2} + \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} \tag{9}$ Sustituyendo estas expresiones en la identidad (6), se obtiene

$\begin{align} \frac{S(n)}{6} = \frac{n}{n+1} - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2(n+1)} + \frac{1}{2(n+2)} \end{align} \tag{10}$

Aquí se observa claramente el carácter telescópico de la serie: los términos $H_n$ se cancelan, evitando la aparición de la constante de Euler-Mascheroni ( $\gamma$ ) o la función digamma ( $\psi$ ) partiendo de la extensión clásica de los números armónicos.

$H_{n} = \gamma + \psi(n+1) \tag{11}$

6 FÓRMULA CERRADA

Simplificando (10), se obtiene una expresión cerrada para la suma parcial:

$S(n) = \frac{3n(n+3)}{2(n+1)(n+2)} \tag{12}$

Los numeradores y denominadores de (12) son respectivamente las secuencias designadas como A118391 y A118392 en OEIS.

7 SUMA INFINITA

Finalmente, tomando el límite de (12) cuando $n \to \infty$ ,

$\lim_{n \to \infty} S(n) = \frac{3}{2} \tag{13}$

Esto muestra que la serie de los recíprocos de los números tetraédricos converge, y su suma infinita es igual a $\frac{3}{2}$ .

8 REFERENCIAS

Geometry P (2009) TETRAHEDRAL NUMBERS RECIPROCALS SUM.

Tetrahedral number.

Weisstein EW Tetrahedral Number.

Harmonic number.

Online Encyclopedia of Integer Sequences (2009) Tetrahedral (or triangular pyramidal) numbers: a(n) = C(n+2,3) = n*(n+1)*(n+2)/6.

Caglayan G (2015) Proof Without Words: Series of Reciprocals of Tetrahedral Numbers. The College Mathematics Journal 46: 130.

Post JV, Adamchuk A, Greubel GC, et al. (2006) A118391: Numerator of sum of reciprocals of first n tetrahedral numbers.

Post JV, Dale HP, Greubel GC (2006) A118392: Denominator of sum of reciprocals of first n tetrahedral numbers.

Notas

Este artículo es una traducción y actualización del post original titulado TETRAHEDRAL NUMBERS RECIPROCALS SUM publicado el viernes 25 de diciembre de 2009 en el blog Psychedelic Geometry [1].↩︎

--- title: "Suma de los recíprocos de los números tetraédricos" description: "Sumas de la serie de los recíprocos de los números tetraédricos" date: "2026-01-08" editor: source image: tetrahedral_numbers.png lang: es categories: - Math - Series - Special Numbers bibliography: tetrahedral.bib nocite: | @* draft: false --- ![Tetrahedral Numbers](tetrahedral_numbers.png) ## INTRODUCCIÓN Esta entrada en el blog continúa con ejercicios sobre series relacionadas con los recíprocos de números especiales, siguiendo trabajos previos[^1] sobre los _números piramidales cuadrados_ y los _números poligonales_. En esta ocasión consideramos un ejemplo sencillo: la suma de los recíprocos de los _números tetraédricos_. Aunque el resultado no es particularmente profundo, sirve como una buena ilustración del uso de *fracciones parciales* y *series telescópicas*. ## NÚMEROS TETRAÉDRICOS Los números tetraédricos representan el número de esferas que pueden apilarse formando un _tetraedro regular_ [@wikiTetrahedralNumber] [@mathworldTetrahedralNumber] y están definidos por la fórmula $$ T_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{6} = \binom{n+2}{3} $${#eq-tet001} ## LA SERIE DE LOS RECÍPROCOS DE NÚMEROS TETRAÉDRICOS Nos interesa estudiar la suma parcial $$ S(n) = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{T_k} = \sum_{k=1}^{n} {\binom{k+2}{3}}^{-1} $${#eq-tet002} Sustituyendo la expresión explícita de $T_k$, obtenemos $$ S(n) = \sum_{k=1}^{n} \frac{6}{k(k+1)(k+2)} $${#eq-tet003} ## DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALES La fracción racional ([@eq-tet003]) puede descomponerse en una suma de otras como: $$ \frac{6}{k(k+1)(k+2)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+1} + \frac{C}{k+2} $${#eq-tet004} Resolviendo el sistema lineal correspondiente se obtienen los valores de los denominadores de la descomposición en fracciones parciales: $$ A = \frac{1}{2}, \qquad B = -1, \qquad C = \frac{1}{2} $${#eq-tet005} Por lo tanto, $$ \frac{6}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{2k} - \frac{1}{k+1} + \frac{1}{2(k+2)} $${#eq-tet006} ## NÚMEROS ARMÓNICOS Estas tres series se pueden sumar facilmente teniendo en cuenta las siguientes identidades para los _números armónicos_ $H_n$ [@wikiHarmonicNumber]: $$ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = H_n $${#eq-tet007} $$ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k+1} = H_n - 1 + \frac{1}{n+1} $${#eq-tet008} $$ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k+2} = H_n - \frac{3}{2} + \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} $${#eq-tet009} Sustituyendo estas expresiones en la identidad ([@eq-tet006]), se obtiene $$ \begin{align} \frac{S(n)}{6} = \frac{n}{n+1} - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2(n+1)} + \frac{1}{2(n+2)} \end{align} $${#eq-tet010} Aquí se observa claramente el carácter **telescópico** de la serie: los términos $H_n$ se cancelan, evitando la aparición de la constante de _Euler-Mascheroni_ ($\gamma$) o la _función digamma_ ($\psi$) partiendo de la extensión clásica de los números armónicos. $$ H_{n} = \gamma + \psi(n+1) $${#eq-tet011} ## FÓRMULA CERRADA Simplificando ([@eq-tet010]), se obtiene una expresión cerrada para la suma parcial: $$ S(n) = \frac{3n(n+3)}{2(n+1)(n+2)} $${#eq-tet012} Los numeradores y denominadores de ([@eq-tet012]) son respectivamente las secuencias designadas como [A118391](https://oeis.org/A118391) y [A118392](https://oeis.org/A118392) en [OEIS](https://oeis.org). ## SUMA INFINITA Finalmente, tomando el límite de ([@eq-tet012]) cuando $n \to \infty$, $$ \lim_{n \to \infty} S(n) = \frac{3}{2} $${#eq-tet013} Esto muestra que la serie de los recíprocos de los números tetraédricos **converge**, y su suma infinita es igual a $\frac{3}{2}$. [^1]: Este artículo es una *traducción y actualización* del post original titulado *TETRAHEDRAL NUMBERS RECIPROCALS SUM* publicado el *viernes 25 de diciembre de 2009* en el blog *Psychedelic Geometry* [@psychedelic2009]. ## REFERENCIAS