1 INTRODUCCIÓN

Esta entrada en el blog continúa con ejercicios sobre series relacionadas con los recíprocos de números especiales, siguiendo trabajos previos¹ sobre los números piramidales cuadrados y los números poligonales. En esta ocasión consideramos un ejemplo sencillo: la suma de los recíprocos de los números tetraédricos.

Aunque el resultado no es particularmente profundo, sirve como una buena ilustración del uso de fracciones parciales y series telescópicas.

2 NÚMEROS TETRAÉDRICOS

Los números tetraédricos representan el número de esferas que pueden apilarse formando un tetraedro regular [2] [3] y están definidos por la fórmula

3 LA SERIE DE LOS RECÍPROCOS DE NÚMEROS TETRAÉDRICOS

Nos interesa estudiar la suma parcial

Sustituyendo la expresión explícita de , obtenemos

4 DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALES

La fracción racional (3) puede descomponerse en una suma de otras como:

Resolviendo el sistema lineal correspondiente se obtienen los valores de los denominadores de la descomposición en fracciones parciales:

Por lo tanto,

5 NÚMEROS ARMÓNICOS

Estas tres series se pueden sumar facilmente teniendo en cuenta las siguientes identidades para los números armónicos [4]:

Sustituyendo estas expresiones en la identidad (6), se obtiene

Aquí se observa claramente el carácter telescópico de la serie: los términos se cancelan, evitando la aparición de la constante de Euler-Mascheroni () o la función digamma () partiendo de la extensión clásica de los números armónicos.

6 FÓRMULA CERRADA

Simplificando (10), se obtiene una expresión cerrada para la suma parcial:

Los numeradores y denominadores de (12) son respectivamente las secuencias designadas como A118391 y A118392 en OEIS.

7 SUMA INFINITA

Finalmente, tomando el límite de (12) cuando ,

Esto muestra que la serie de los recíprocos de los números tetraédricos converge, y su suma infinita es igual a .

2 PROPIEDADES FUNDAMENTALES

El análisis de la razón entre términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci tiene dos propiedades importantes:

1. La sucesión de razones converge a un límite finito cuando tiende a infinito.

2. Dos números de Fibonacci consecutivos son coprimos: .

3 TABLA DE RAZONES

			Error absoluto
5	5	1.6666667	0.0486327
10	55	1.6176471	0.0003869
15	610	1.6180339	≈ 2.7 × 10⁻⁷
20	6765	1.6180339887	≈ 1.3 × 10⁻¹⁰

Tabla 1: Convergencia de la razón hacia el número áureo

4 LA RAZÓN AUREA

Sea el límite de la relación entre dos números de Fibonacci consecutivos:

Como:

Tomando límites se obtiene:

El número es conocido como la proporción áurea.

library(ggplot2)

fibonacci <- function(n) {
  F <- numeric(n)
  F[1] <- 1
  F[2] <- 1
  for (i in 3:n) {
    F[i] <- F[i - 1] + F[i - 2]
  }
  return(F)
}

n <- 20
F <- fibonacci(n)
ratio <- F[-1] / F[-length(F)]
data <- data.frame(n = 2:n, ratio = ratio)
phi <- (1 + sqrt(5)) / 2

ggplot(data, aes(x = n, y = ratio)) +
  geom_point(color = "steelblue", size = 2) +
  geom_line(color = "steelblue") +
  geom_hline(yintercept = phi,
             linetype = "dashed",
             color = "red") +
  labs(title = "Razón entre números consecutivos de Fibonacci",
       x = "n",
       y = expression(F[n] / F[n - 1])) +
  theme_minimal()

5 EL ALGORITMO DE EUCLIDES

La segunda propiedad se puede demostrar empleando el Algoritmo de Euclides, que es técnica milenaria para encontrar el máximo común divisor (MCD) entre dos números enteros.

Dados y , el algoritmo genera la secuencia:

Con la siguiente relación de recurrencia:

Cuando , entonces y el algoritmo se detiene.

La notación corresponde a la denominada función suelo [3] que devuelve el mayor entero menor o igual que

6 APLICACIÓN A LOS NÚMEROS DE FIBONACCI

Sea:

Entonces:

Repitiendo el proceso, se obtiene:

Por lo tanto, dos números de Fibonacci consecutivos son siempre coprimos.

7 CONCLUSIÓN

El algoritmo de Euclides proporciona una demostración elegante y alternativa de la coprimalidad de dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci.

1 INTRODUCCIÓN

Relacionar dos secuencias distintas de números enteros en la On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS) abre conexiones entre dentro de la información matemática disponible¹. La secuencia de números enteros, A004782 [2], está compuesta por los números que cumplen:

Y está estrechamente relacionada con la secuencia A014847 [3], formada por los números dónde el enésimo número de Catalan es divisible por

Los números de Catalan [4] aparecen con mucha frecuencia en combinatoria y otras áreas de las matemáticas y están definidos por la expresión:

están relacionados con los coeficientes binomiales centrales [5] y los primeros términos de la secuencia de los números de Catalan son:

2 ENUNCIADO

3 DEMOSTRACIÓN

Partiendo de las funciones y :

Se puede comprobar como es igual a por cálculo directo:

Por lo tanto:

1 Convert Numpy array to

Sometimes, when you are writing a statistics or a math article, you must go through a tedious process of typing and testing numerous lines of text until your code works. This can be especially boring when dealing with long matrices. If you want to improve your productivity, automating this process comes in very handy, and Python is particularly useful for that.

import numpy as np

INDENT_SPACES = 3

def indent(num_indent=1):
    """
    Number of spaces for indentation
    """
    return num_indent * INDENT_SPACES * " "

def matrix2latex(matrix):
    """
    Convert a NumPy array to LaTeX code as a matrix
    """
    left_latex = r"\left(" + "\n" + indent(1) + r"\begin{array}"
    right_latex = indent(1) + r"\end{array}" + "\n" + r"\right)"
    m_cols = matrix.shape[1]
    array_cols = "{" + "r" * m_cols + "}\n"
    elements_latex = ""
    for row in matrix:
        elements_latex = \
          elements_latex + indent(2) + " & ".join([str(x) for x in row]) + \
            r" \\ " + "\n"
    latex = left_latex + array_cols + elements_latex + right_latex
    return f"$$\n{latex}\n$$"

def det2latex(matrix):
    """
    Convert a NumPy array to LaTeX code as a determinant
    """
    left_latex = r"\begin{vmatrix}" + "\n"
    right_latex = r"\end{vmatrix}"
    m_cols = matrix.shape[1]
    elements_latex = ""
    for row in matrix:
        elements_latex = \
          elements_latex + indent(1) + " & ".join([str(x) for x in row]) + \
            r" \\ " + "\n"
    latex = left_latex + elements_latex + right_latex
    return f"$$\n{latex}\n$$"

print(matrix2latex(np.eye(3, dtype=int)))

$$
\left(
   \begin{array}{rrr}
      1 & 0 & 0 \\ 
      0 & 1 & 0 \\ 
      0 & 0 & 1 \\ 
   \end{array}
\right)
$$

from IPython.display import Math

print(det2latex(np.eye(3, dtype=int)))

# Identity 4x4 matrix
identity_4 = np.eye(4, dtype=int)
identity_4_latex = r"$$I_4 = " + f"{matrix2latex(identity_4)}"[2:]
print(identity_4_latex)

from sympy import preview

def latex2png(latex, filename, fontsize=300):
    """
    Render LaTeX code to a PNG image
    """
    return preview(latex,
                   viewer='file',
                   filename=filename,
                   euler=False,
                   dvioptions=['-D', f'{str(fontsize)}'])

def element_matrix(n, notation=r"x"):
    """
    Matrix with elements in algebraic notation 
    """
    vec_function = \
      np.vectorize(lambda i, j: notation + "_{" + f"{i + 1}{j + 1}" + "}")
    return np.fromfunction(vec_function,
                           shape=(n, n),
                           dtype=int)

print(matrix2latex(element_matrix(5, notation=r"\theta")))

def up_triangular_matrix(n):
    """
    Upper Triangular matrix filled with ones and zeros
    """
    return np.fromfunction(lambda i, j:  1 * np.less_equal(i , j),
                           shape=(n, n),
                           dtype=int)

def lw_triangular_matrix(n):
    """
    Lower Triangular matrix filled with ones and zeros
    """
    return np.fromfunction(lambda i, j:  1 * np.greater_equal(i , j),
                           shape=(n, n),
                           dtype=int)

print(matrix2latex(up_triangular_matrix(5)))

2 Archivos de entrada y salida

file_icon <- "lightning_icon_white.png"
file_name <- "logo.png"

3 Solución al recorte del borde del hexágono

El problema del borde recortado se soluciona ampliando ligeramente los límites del gráfico y es necesario modificar la función del tema gráfico que viene en el paquete hexStickerpor defecto. La siguiente función, adaptada de una contribución comunitaria, añade un margen extra para garantizar que el hexágono quede completo.

# Solves issue:
# Border always cut off in .png or .svg #155
# https://github.com/GuangchuangYu/hexSticker/issues/155
# by https://github.com/emilioxavier
#| label: tema-personalizado
#| echo: true

library(ggplot2)  # Para solución issue #155

my_theme_sticker <- function(size = 1.2, ...) {
  center <- 1
  radius <- 1
  h <- radius
  w <- sqrt(3) / 2 * radius
  m <- 1.05
  list(
    theme_transparent() +
      ggplot2::theme(
        plot.margin = margin(
          t = 0,
          r = 0,
          b = 0,
          l = 0,
          unit = "lines"
        ),
        strip.text = element_blank(),
        line = element_blank(),
        text = element_blank(),
        title = element_blank(),
        ...
      ),
    coord_fixed(),
    scale_y_continuous(
      expand = c(0, 0),
      limits = c(center - h * m , center + h * m)
    ),
    scale_x_continuous(
      expand = c(0, 0),
      limits = c(center - w * m , center + w * m)
    )
  )
}

4 Creación del sticker

Ahora generamos el logo ajustando posiciones, tamaños y colores.

sticker(
  subplot = file_icon,
  package = "ENERGYCODE",
  p_size = 18,      # Tamaño del texto
  p_y = 1.3,        # Posición vertical del texto
  p_color = "white",
  h_fill = "black", # Fondo del hexágono
  h_color = "grey", # Color del borde
  h_size = 1.5,     # Grosor del borde
  s_x = 1,          # Posición horizontal del icono
  s_y = 0.75,       # Posición vertical del icono
  s_width = 0.35,   # Ancho del icono
  s_height = 0.35,  # Alto del icono
  spotlight = TRUE, # Efecto de luz opcional
  l_x = 1.0,        # Posición de la luz (ajustar si usas spotlight)
  dpi = 300,        # Alta resolución
  filename = file_name,
  theme = my_theme_sticker()
)

5 Resultado final

]

El logo generado tiene un aspecto sencillo, con el borde completo y listo para usar en cualquier sitio web o documentación. Se puede incluir fácilmente en un sitio Quarto añadiendo en _quarto.yml:

website:
  title: "ENERGYCODE"
  navbar:
    logo: logo.png

1.1 Classification

We will conduct a Naive Bayes classification using the classic Iris dataset.

# train and test data
iris$spl <- caTools::sample.split(iris, SplitRatio = 0.8)
train <- subset(iris, iris$spl == TRUE)
test <- subset(iris, iris$spl == FALSE)

iris_nb <- naiveBayes(Species ~ ., data = train)
nb_train_predict <- predict(iris_nb, test[, names(test) != "Species"])

cfm <- confusionMatrix(nb_train_predict, test$Species)
cfm

Confusion Matrix and Statistics

            Reference
Prediction   setosa versicolor virginica
  setosa         10          0         0
  versicolor      0         10         2
  virginica       0          0         8

Overall Statistics
                                          
               Accuracy : 0.9333          
                 95% CI : (0.7793, 0.9918)
    No Information Rate : 0.3333          
    P-Value [Acc > NIR] : 8.747e-12       
                                          
                  Kappa : 0.9             
                                          
 Mcnemar's Test P-Value : NA              

Statistics by Class:

                     Class: setosa Class: versicolor Class: virginica
Sensitivity                 1.0000            1.0000           0.8000
Specificity                 1.0000            0.9000           1.0000
Pos Pred Value              1.0000            0.8333           1.0000
Neg Pred Value              1.0000            1.0000           0.9091
Prevalence                  0.3333            0.3333           0.3333
Detection Rate              0.3333            0.3333           0.2667
Detection Prevalence        0.3333            0.4000           0.2667
Balanced Accuracy           1.0000            0.9500           0.9000

1.2 Plotting

To plot the resulting confusion matrix using ggplot, we use the following function:

ggplot_confusion_matrix <- function(cfm) {
  mytitle <- paste("Accuracy", percent_format() (cfm$overall[1]),
                   "Kappa", percent_format() (cfm$overall[2]))
  p <-
    ggplot(data = as.data.frame(cfm$table),
           aes(x = Reference, y = Prediction)) +
    geom_tile(aes(fill = log(Freq)), colour = "white") +
    scale_fill_gradient(low = "white", high = "steelblue") +
    geom_text(aes(x = Reference, y = Prediction, label = Freq)) +
    theme(legend.position = "none") +
    ggtitle(mytitle)
  return(p)
}

ggplot_confusion_matrix(cfm)

1 Identity

The sequence A181983(n) gives the determinants of the square matrices: , where the elements and denotes the maximum function.

This identity appears as follows:

2 Proof

A new matrix with the same determinant can be created by subtracting row from row starting from the 2nd row. The determinant of this new matrix can then be easily computed using the expansion by minors technique at element

This can be better illustrated with an example:

We can transform:

Into:

This proof can be generalized to a very similar type of matrices, resulting in:

3 References

1 Introduction

By applying yesterday’s idea¹ with slight variations, we can derive new expressions for matrices whose elements are related to binomial coefficients.

Let be a square matrix with entries:

is an upper triangular matrix with all diagonal entries equal to , and it closely resembles Pascal’s triangle (which I prefer to call Tartaglia’s triangle)².

2 Example matrix

And, of course:

Or in element wise notation:

If we multiply this matrix by its transpose, we obtain a symmetric matrix with:

3 Example matrix

The most remarkable property of this symmetric matrix is that its determinant equals , making it a unimodular matrix.

Thus, we have constructed a new matrix with determinant equal to one:

Alternatively, in element-wise notation:

Note: For a proof of the binomial identity used above, see references [3] or [4].

4 OEIS Related Sequences